Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 М 2 М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двох векторів,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вид:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доказ. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - Вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

,

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.

Рівняння площині у векторній формі.

де

- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),

Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.

,  та  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - Довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) – основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та

Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та

В(3, 2, -1) перпендикулярно площині х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо рівняння координати точки Р:

16+9+144+D=0

Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

приклад.Дані координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний твір векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною дорівнюватиме  = 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .

Знайти обсяг піраміди.

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії “ Курси вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад будь-яких координат вершин піраміди.

Щоб запустити програму, двічі клацніть на значку:

У вікні програми введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена ​​програма Maple (Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину через задану точку.

Нехай у просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Ойі Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався пласким. Площиною буде сам аркуш та його продовження у всіх напрямках.

Нехай Pдовільна площина у просторі. Кожен перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї поверхні. Звичайно, йдеться про ненульовий вектор.

Якщо відома якась точка площини Pі якийсь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину у просторі цілком визначено(через задану точку можна провести єдину площину, перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини матиме вигляд:

Отже, умови, якими задається рівняння площини, є. Щоб отримати саме рівняння площини, що має наведений вище вигляд, візьмемо на площині Pдовільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині лише у тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектор(Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю, тобто

Вектор задано за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою :

.

Тепер, використовуючи формулу скалярного твору векторів , Виразимо скалярне твір в координатній формі:

Оскільки точка M(x; y; z)обрана на площині довільно, то останньому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. Для точки N, що не лежить на заданій площині, , тобто. рівність (1) порушується.

приклад 1.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .

Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:

У цій формулі числа A , Bі Cкоординати вектора , а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.

Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа у формулу та отримуємо

Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без літер). Результат:

.

Необхідне рівняння площини у цьому прикладі виявилося загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, zдовільної точки площини.

Отже, рівняння виду

називається загальним рівнянням площини .

приклад 2.Побудувати у прямокутній декартовій системі координат площину, задану рівнянням .

Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати якісь три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.

Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz, потрібно в рівняння, дане за умови завдання, замість ікс і грека підставити нулі: x = y= 0. Тому отримуємо z= 6 . Таким чином, задана площина перетинає вісь Ozу точці A(0; 0; 6) .

Так само знаходимо точку перетину площини з віссю Ой. При x = z= 0 отримуємо y= −3 , тобто точку B(0; −3; 0) .

І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площини з віссю Ox. При y = z= 0 отримаємо x= 2 , тобто точку C(2; 0; 0) . За трьома отриманими в нашому рішенні точками A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) та C(2; 0; 0) будуємо задану площину.

Розглянемо тепер окремі випадки загального рівняння площини. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) перетворюються на нуль.

1. При D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через початок координат, оскільки координати точки 0 (0; 0; 0) задовольняють цього рівняння.

2. При A = 0 рівняння визначає площину, паралельну осі Ox, оскільки вектор нормалі цієї площини перпендикулярний до осі. Ox(його проекція на вісь Oxдорівнює нулю). Аналогічно, при B = 0 площина паралельна осі Ой, а при C = 0 площина паралельна осі Oz.

3. При A = D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Oxоскільки вона паралельна осі Ox (A =D = 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Ой, а площина через вісь Oz.

4. При A = B = 0 рівняння визначає площину, паралельну координатній площині xOyоскільки вона паралельна осям Ox (A= 0) та Ой (B= 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, а площина - площині xOz.

5. При A = B = D = 0 рівняння (або z = 0) визначає координатну площину xOyоскільки вона паралельна площині xOy (A = B = 0) і проходить через початок координат ( D = 0). Аналогічно, рівняння y = 0 у просторі визначає координатну площину xOz, а рівняння x = 0 - координатну площину yOz.

Приклад 3.Скласти рівняння площини P, що проходить через вісь Ойі точку.

Рішення. Отже, площина проходить через вісь Ой. Тому у її рівнянні y= 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів Aі Cскористаємося тим, що точка належить площині P .

Тому серед її координат є такі, які можна підставити на рівнянні площини, яке ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:

M0 (2; −4; 3) .

Серед них x = 2 , z= 3 . Підставляємо їх у рівняння загального виду та отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:

2A + 3C = 0 .

Залишаємо 2 Aу лівій частині рівняння, переносимо 3 Cу праву частину та отримуємо

A = −1,5C .

Підставивши знайдене значення Aв рівняння , отримаємо

або .

Це і є рівняння, потрібне за умови прикладу.

Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 4.Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осей або координатних площин, якщо площина задана рівнянням .

Вирішення типових завдань, які бувають на контрольних роботах - у посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці".

Рівняння площини, що проходить через три точки

Як уже згадувалося, необхідною та достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки та вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.

Нехай дані три різні точки , і , що не лежать на одній прямій. Так як зазначені три точки не лежать на одній прямій, вектори і не колінеарні, тому будь-яка точка площини лежить в одній площині з точками , і тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні, тобто. тоді і лише тоді, коли змішаний твір цих векторіводно нулю.

Використовуючи вираз змішаного твору в координатах, отримаємо рівняння площини

(3)

Після розкриття визначника це рівняння стає рівнянням виду (2), тобто. загальним рівнянням площини.

Приклад 5.Скласти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій:

та визначити окремий випадок загального рівняння прямої, якщо такий має місце.

Рішення. За формулою (3) маємо:

Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини

Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, записане як

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратись у векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора та стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. Насправді крім паралелограма також промальовують овал чи навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме у такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його у просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використати букву. На кресленні саме буква «сигма», а не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин - за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко літери укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок та практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - ​​олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти це рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» та «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» і «ігрок», важливо, що «Зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? "Ікс" ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях "ігрок" і "зет" дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - Площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди "відсікає" трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність непогана (два останніх у списку), то у розв'язання нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння поверхні знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що й потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярне твір векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і оберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину, перпендикулярну до вашої руки.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , виражається формулою:

Для визначення паралельності та перпендикулярності площин, а також для розрахунку відстаней між цими геометричними об'єктами, зручно користуватися тим чи іншим видом числових функцій. Для яких завдань зручно використати рівняння площини у відрізках? У статті розглянемо, що і як використовувати у практичних завданнях.

Що являє собою рівняння у відрізках?

Площину можна задати у тривимірному просторі декількома способами. У цій статті деякі з них будуть наведені під час розв'язання задач різного типу. Тут же дамо докладну характеристику рівняння у відрізках площини. Воно у випадку має такий вид:

Де символами p, q, r є деякі конкретні числа. Це рівняння можна легко перевести у вираз загального вигляду та інші форми числових функцій для площини.

Зручність запису рівняння у відрізках у тому, що він містить явні координати перетину площині з перпендикулярними осями координат. На осі x щодо початку координат площина відсікає відрізок завдовжки p, на осі y - рівну q, на z - завдовжки r.

Якщо якийсь із трьох змінних не міститься в рівнянні, це означає, що через відповідну вісь площина не проходить (математики кажуть, що перетинає в нескінченності).

Зв'язок загального та у відрізках рівнянь

Відомо, що площина задана такою рівністю:

2 * x - 3 * y + z - 6 = 0.

Необхідно це загальне рівняння площини у відрізках записати.

Коли виникає подібне завдання, потрібно слідувати такій методиці: переносимо вільний член у праву частину рівності. Потім ділимо цей член все рівняння, прагнучи його висловити як, наведеному у попередньому пункті. Маємо:

2 * x - 3 * y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Ми отримали у відрізках рівняння площини, задане спочатку у загальному вигляді. Помітно, що площина відсікає відрізки з довжинами 3, 2 та 6 для осей x, y та z відповідно. Вісь площина перетинає в негативній області координат.

При складанні рівняння у відрізках важливо, щоб перед усіма змінними стояв знак +. Тільки в цьому випадку число, на яке ця змінна ділиться, покаже відсічену на осі координату.

Нормальний вектор і точка на площині

Відомо, що деяка площина має (3; 0; -1). Також відомо, що вона проходить через точку (1; 1; 1). Слід для цієї площини написати рівняння у відрізках.

Щоб вирішити це завдання, слід спочатку скористатися загальною формою для цього двовимірного геометричного об'єкта. Загальна форма записується як:

A*x+B*y+C*z+D=0.

Три перші коефіцієнти тут координатами вектора направляючого, який заданий за умови завдання, тобто:

Залишається знайти вільний член D. Його визначити можна за такою формулою:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1).

Де значення координат з індексом 1 відповідають координатам точки, що належить площині. Підставляємо їх значення з умови завдання, отримуємо:

D = -1 * (3 * 1 + 0 * 1 + (-1) * 1) = -2.

Тепер можна записати повністю рівняння:

Вище вже була продемонстрована методика перетворення цього виразу на рівняння у відрізках площини. Застосуємо її:

3 * x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Відповідь завдання отримано. Зауважимо, що дана площина перетинає лише x та z осі. Для y вона паралельна.

Дві прямі, що задають площину

З курсу просторової геометрії кожен школяр знає, що дві довільні прямі задають однозначно площину в тривимірному просторі. Розв'яжемо подібне завдання.

Відомі два рівняння прямих:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α * (2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β * (-1; 0; 1).

Потрібно записати у відрізках рівняння площини, через ці прямі проходить.

Так як обидві прямі повинні лежати в площині, це означає, що їх вектора (напрямні) повинні бути перпендикулярні вектору (напрямному) для площині. У той самий час відомо, що вектор добуток двох спрямованих відрізків дає результат як координат третього, перпендикулярного двом вихідним. Враховуючи цю властивість, отримуємо координати нормального до площини вектора:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Оскільки його можна множити на довільне число, при цьому утворюється новий спрямований відрізок, паралельний вихідному, можна знак отриманих координат замінити на протилежний (помножити на -1), отримаємо:

Нам відомий напрямний вектор. Залишається взяти довільну точку однієї з прямих і скласти загальне рівняння площини:

D = -1 * (1 * 1 + 2 * 0 + 3 * 0) = -1;

x + 2 * y + z-1 = 0.

Перекладаємо цю рівність у вираз у відрізках, отримуємо:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Таким чином, площина перетинає всі три осі у позитивній області координатної системи.

Так само як дві прямі, три точки задають площину однозначно у тривимірному просторі. Запишемо відповідне рівняння у відрізках, якщо відомі наступні координати точок, що лежать у площині:

Вчинимо наступним чином: обчислимо координати двох довільних векторів, що з'єднують ці точки, потім знайдемо нормальний до площини вектор n¯, розрахувавши добуток знайдених спрямованих відрізків. Отримуємо:

QP = P - Q = (1; -1; 0);

QM = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0) * (2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Візьмемо для прикладу точку P, складемо рівняння площини:

D = -1 * (0 * 2 + 0 * (-3) + 6 * 0) = 0;

6*z = 0 чи z = 0.

Ми отримали простий вираз, який відповідає площині xy у даній прямокутній системі координат. Записати його у відрізках не можна, оскільки осі x та y належать площині, а довжина відсікаючого на осі z відрізка дорівнює нулю (точка (0; 0; 0) належить площині).